【题目】已知圆C:(x﹣1)2+(y﹣2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4.(m∈R)
(1)证明:不论m取什么实数,直线l与圆C恒相交;
(2)求直线l与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线l的方程.
【答案】
(1)解:直线方程l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4,可以改写为m(2x+y﹣7)+x+y﹣4=0,所以直线必经过直线2x+y﹣7=0和x+y﹣4=0的交点.由方程组 解得
即两直线的交点为A(3,1),
又因为点A(3,1)与圆心C(1,2)的距离 ,
所以该点在C内,故不论m取什么实数,直线l与圆C恒相交
(2)解:连接AC,当直线l是AC的垂线时,此时的直线l与圆C相交于B、D.BD为直线l被圆所截得的最短弦长.此时, ,所以
.即最短弦长为
.
又直线AC的斜率 ,所以直线BD的斜率为2.
此时直线方程为:y﹣1=2(x﹣3),即2x﹣y﹣5=0
【解析】(1)要证直线l无论m取何实数与圆C恒相交,即要证直线l横过过圆C内一点,方法是把直线l的方程改写成m(2x+y﹣7)+x+y﹣4=0可知,直线l一定经过直线2x+y﹣7=0和x+y﹣4=0的交点,联立两条直线的方程即可求出交点A的坐标,然后利用两点间的距离公式求出AC之间的距离d,判断d小于半径5,得证;(2)根据圆的对称性可得过点A最长的弦是直径,最短的弦是过A垂直于直径的弦,所以连接AC,过A作AC的垂线,此时的直线与圆C相交于B、D,弦BD为最短的弦,接下来求BD的长,根据垂径定理可得A是BD的中点,利用(1)圆心C到BD的距离其实就是|AC|的长和圆的半径|BC|的长,根据勾股定理可求出 |BD|的长,求得|BD|的长即为最短弦的长;根据点A和点C的坐标求出直线AC的斜率,然后根据两直线垂直时斜率乘积为﹣1求出直线BD的斜率,又直线BD过A(3,1),根据斜率与A点坐标即可写出直线l的方程.
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【题目】已知函数.
(1)当时,求函数
的单调区间;
(2)若函数既有一个极小值又有一个极大值,求
的取值范围;
(3)若存在,使得当
时,
的值域是
,求
的取值范围.
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【题目】平面直角坐标系中,椭圆
:
(
)的离心率是
,抛物线
:
的焦点
是
的一个顶点.
(1)求椭圆的方程;
(2)设是
上动点,且位于第一象限,
在点
处的切线
与
交于不同的两点
,
,线段
的中点为
,直线
与过
且垂直于
轴的直线交于点
.
(i)求证:点在定直线上;
(ii)直线与
轴交于点
,记
的面积为
,
的面积为
,求
的最大值及取得最大值时点
的坐标.
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【题目】已知函数f(x)=2sinx(sinx+ cosx)﹣1(其中x∈R),求:
(1)函数f(x)的最小正周期;
(2)函数f(x)的单调减区间;
(3)函数f(x)图象的对称轴和对称中心.
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【题目】如图为一简单组合体,其底面 ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,EC∥PD,且PD=AD=2EC=2.
(1)求证:BE∥平面PDA;
(2)求四棱锥B﹣CEPD的体积.
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【题目】已知函数
(1)若m=1,求函数f(x)的定义域.
(2)若函数f(x)的值域为R,求实数m的取值范围.
(3)若函数f(x)在区间 上是增函数,求实数m的取值范围.
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