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已知x,y,z为正实数,且数学公式,求x+4y+9z的最小值________此时 x=________,y=________,z=________.

36    6    3    2
分析:依题意,x+4y+9z=(x+4y+9z)•(++),展开后利用基本不等式即可.
解答:∵x,y,z为正实数,++=1,
∴x+4y+9z=(x+4y+9z)•(++
=1+4+9+(+)+(+)+(+),
∵x,y,z为正实数,
+≥4(当且仅当x=2y时取等号);
+≥6(当且仅当x=3z时取等号);
+≥12(当且仅当2y=3z时取等号);
∴1+4+9+(+)+(+)+(+)≥36(当且仅当x=2y=3z时取等号),
即x+4y+9z≥36.
++=1,得:++=1,
∴x=6,y=3,z=2.
故答案为:36;6,3,2.
点评:本题考查基本不等式,注意等号成立的条件是关键,也是难点,属于中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知x,y,z为正实数,且
1
x
+
1
y
+
1
z
=1
,求x+4y+9z的最小值
36
36
此时 x=
6
6
,y=
3
3
,z=
2
2

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科目:高中数学 来源: 题型:

选修4-2:矩阵及其变换
(1)如图,向量
OA
OB
被矩阵M作用后分别变成
OA′
OB′

(Ⅰ)求矩阵M;
(Ⅱ)并求y=sin(x+
π
3
)
在M作用后的函数解析式;
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( 2)在直角坐标系x0y中,直线l的参数方程为
x=3-
2
2
t
y=
5
+
2
2
t
(t为参数),在极坐标系(与直角坐标系x0y取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,圆C的方程为ρ=2
5
sinθ

(Ⅰ)求圆C的直角坐标方程;
(Ⅱ)设圆C与直线l交于点A,B.若点P的坐标为(3,
5
),求|PA|+|PB|.
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(3)已知x,y,z为正实数,且
1
x
+
1
y
+
1
z
=1
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2xy+yz
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选修4-2:矩阵及其变换
(1)如图,向量被矩阵M作用后分别变成
(Ⅰ)求矩阵M;
(Ⅱ)并求在M作用后的函数解析式;
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( 2)在直角坐标系x0y中,直线l的参数方程为(t为参数),在极坐标系(与直角坐标系x0y取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,圆C的方程为
(Ⅰ)求圆C的直角坐标方程;
(Ⅱ)设圆C与直线l交于点A,B.若点P的坐标为(3,),求|PA|+|PB|.
选修4-5:不等式选讲
(3)已知x,y,z为正实数,且,求x+4y+9z的最小值及取得最小值时x,y,z的值.

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