Question

11．在△ABC中，AC=6，BC=7，cosA=$\frac{1}{5}$，O是△ABC的内心，若$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，其中x，y∈[0，1]，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为（　　）

• A． $\frac{10\sqrt{6}}{3}$
• B． $\frac{14\sqrt{6}}{3}$
• C． 4$\sqrt{3}$
• D． 6$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 画出图形，由已知条件便知P点在以OA，OB为邻边的平行四边形内，从而所求面积为2倍的△AOB的面积，从而需求S_△AOB：由余弦定理可以求出AB的长为5，根据O为△ABC的内心，从而O到△ABC三边的距离相等，从而${S}_{△AOB}=\frac{5}{5+6+7}•{S}_{△ABC}$，由面积公式可以求出△ABC的面积，从而求出△AOB的面积，这样2S_△AOB便是所求的面积．

解答 解：如图，根据题意知，P点在以OA，OB为邻边的平行四边形内部，∴动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2S_△AOB；
在△ABC中，cos$∠BAC=\frac{1}{5}$，AC=6，BC=7；
∴由余弦定理得，$\frac{1}{5}=\frac{A{B}^{2}+36-49}{2AB•6}$；
解得：AB=5，或AB=$-\frac{13}{5}$（舍去）；
又O为△ABC的内心；
∴${S}_{△AOB}=\frac{5}{5+6+7}•{S}_{△ABC}$=$\frac{5}{18}•\frac{1}{2}•5•6•sin∠BAC=\frac{25}{6}•\sqrt{1-\frac{1}{25}}$=$\frac{5\sqrt{6}}{3}$；
∴动点P的轨迹所覆盖图形的面积为$\frac{10\sqrt{6}}{3}$．
故选A．

点评 考查向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，余弦定理，以及三角形内心的定义，三角形的面积公式：S=$\frac{1}{2}absinC$．