Question

16．已知二次函数f（x）=x²+bx+c（b，c∈R）．
（I）若f（-1）=f（2），且函数y=f（x）-x的值域为[0，+∞），求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若c＜0，且函数f（x）在[-1，1]上有两个零点，求2b+c的取值范围．

Answer 1

分析 （I）因为f（-1）=f（2），函数y=f（x）-x的值域为[0，+∞），可得b，c的值，及函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若c＜0，且函数f（x）在[-1，1]上有两个零点，则$\left\{\begin{array}{l}f（-1）≥0\\ f（1）≥0\\ c＜0\end{array}\right.$，利用线性规划可得2b+c的取值范围．

解答 解：（I）因为f（x）=x²+bx+c，f（-1）=f（2），
所以1-b+c=4+2b+c，
解得：b=-1，…（3分）
又因为函数y=f（x）-x的值域为[0，+∞），
即y=x²-2x+c的值域为[0，+∞），
故$\frac{4c-4}{4}$=0，
解得：c=1，
所以f（x）=x²-x+1；          …（7分）
（Ⅱ）因为f（x）在[-1，1]上有两个零点，且c＜0，
所以有 $\left\{\begin{array}{l}f（-1）≥0\\ f（1）≥0\\ c＜0\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}-b+c+1≥0\\ b+c+1≥0\\ c＜0\end{array}\right.$其对应的平面区域如图所示：
 …（11分）
令Z=2b+c，
则当b=-1，c=0时，Z取最小值-2，
当b=1，c=0时，Z取最大值2，
由于可行域不包括（-1，0）和（1，0）点
故-2＜2b+c＜2（12分）

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数的零点，线性规划，难度中档．