Question

6．设a，b，c都是正数，证明不等式$\frac{{a}^{2}}{b+c}$+$\frac{{b}^{2}}{c+a}$+$\frac{{c}^{2}}{a+b}$$≥\frac{1}{2}$（a+b+c）当且仅当a=b=c时取等号．

Answer 1

分析 利用柯西不等式的变形$\frac{{{a}_{1}}^{2}}{{b}_{1}}$+$\frac{{{a}_{2}}^{2}}{{b}_{2}}$+…+$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{b}_{n}}$≥$\frac{（{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}）^{2}}{{b}_{1}+{b}_{2}+…+{b}_{n}}$化简即得结论．

解答 证明：柯西不等式的变形$\frac{{{a}_{1}}^{2}}{{b}_{1}}$+$\frac{{{a}_{2}}^{2}}{{b}_{2}}$+…+$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{b}_{n}}$≥$\frac{（{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}）^{2}}{{b}_{1}+{b}_{2}+…+{b}_{n}}$得：
$\frac{{a}^{2}}{b+c}$+$\frac{{b}^{2}}{c+a}$+$\frac{{c}^{2}}{a+b}$≥$\frac{（a+b+c）^{2}}{（b+c）+（c+a）+（a+b）}$=$\frac{1}{2}$（a+b+c）．

点评 本题考查不等式的证明，利用柯西不等式的变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．