定义:将圆心不同的两圆方程C1:(x-a1)2+(y-b1)2=r12与C2:(x-a2)2+(y-b2)2=r22两边分别相减所得的直线m称为两圆的根轴．(1)求证:“根轴所在直线m与两圆圆心的连线垂直,(2)求证:“根轴所在直线m上在圆外部分的点到两圆的切线长相等,(3)利用上述方法判断.对于圆C:x2+y2-2x+4y-4=0来说.是� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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5．定义：将圆心不同的两圆方程C₁：（x-a₁）²+（y-b₁）²=r₁²与C₂：（x-a₂）²+（y-b₂）²=r₂²两边分别相减所得的直线m称为两圆的根轴．
（1）求证：“根轴”所在直线m与两圆圆心的连线垂直；
（2）求证：“根轴”所在直线m上在圆外部分的点到两圆的切线长相等；
（3）利用上述方法判断，对于圆C：x²+y²-2x+4y-4=0来说，是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆C截得的弦AB为直径的圆，经过原点？若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由．

分析（1）由条件利用“根轴”的定义，根据圆心和公共弦的中点的连线垂直且平分弦，可得“根轴”所在直线m与两圆圆心的连线垂直．
（2）证明：设点M是：“根轴”所在直线m上在圆外部分的点，如图所示：MP、MQ分别为两圆的切线长，则由切割线定理可得MP=MQ．
（3）假设存在直线l：y=x+b，把它代入圆的方程可得2x²+（2b+2）b²+4b-4=0 ①，设A（x₁，y₁）、B（ x₂，y₂），利用韦达定理、以及OA⊥OB，可得 x₁•x₂+y₁•y₂=0，求得b=1，或b=-4．再把b=1，或b=-4代入①检验，判别式均大于零，可得满足条件的直线有两条．

解答解：（1）证明：由题意可得“根轴”即两圆的公共弦所在的直线，再根据两圆相交的性质可得，
圆心和公共弦的中点的连线垂直且平分弦，
故“根轴”所在直线m与两圆圆心的连线垂直．
（2）证明：设点M是：“根轴”所在直线m上在圆外部分的点，如图所示：MP、MQ分别为两圆的切线长，
则由切割线定理可得MA•MB=MP²，MA•MB=MQ²，∴MP=MQ，
即“根轴”所在直线m上在圆外部分的点到两圆的切线长相等．
（3）假设存在直线l：y=x+b，则由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}{+y}^{2}-2x+4y-4=0}\\{y=x+b}\end{array}\right.$，可得2x²+（2b+2）b²+4b-4=0 ①，
设A（x₁，y₁）、B（ x₂，y₂），则x₁+x₂=-b-1，x₁•x₂=$\frac{{b}^{2}+2b-4}{2}$，
∴y₁•y₂=（x₁+b）（x₂+b）=x₁•x₂+b（x₁+x₂）+b²=$\frac{{b}^{2}+4b-4}{2}$+b（-b-1）+b²=$\frac{{b}^{2}+2b-4}{2}$．
又OA⊥OB，∴x₁•x₂+y₁•y₂=0，即 $\frac{{b}^{2}+4b-4}{2}$+$\frac{{b}^{2}+2b-4}{2}$=0，求得b=1，或b=-4．
再把b=1，或b=-4代入①检验，判别式均大于零，故满足条件的直线有两条，即 x-y+1=0 x-y-4=0．

点评本题主要考查新定义，圆的切割线定理，直线和圆相交的性质，属于中档题．

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