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(2010•泸州二模)已知在△ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,且tanB=
2-
3
a2+c2-b2
BC
BA
=
1
2

(Ⅰ)求tanB的值;
(Ⅱ)求
2sin2
B
2
+2sin
B
2
cos
B
2
-1
cos(
π
4
-B)
的值.
分析:(Ⅰ)根据余弦定理及同角三角函数间的基本关系化简已知条件tanB=
2-
3
a2+c2-b2
得到sinB的关系式,然后利用向量的数乘法则化简
BC
BA
=
1
2
后得到关于ac的式子,代入到sinB的关系式中即可求出tanB的值;
(Ⅱ)把原式的分子前两项利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简,分母利用两角差的余弦函数公式及特殊角的三角函数公式化简,合并后利用同角三角函数间的基本关系化简得到关于tanB的式子,将(Ⅰ)中求得的tanB的值代入即可求出值.
解答:解:(Ⅰ)∵b2=a2+c2-2accosB
∴tanB=
sinB
cosB
=
2-
3
2accosB

∴sinB=
2-
3
2ac

BC
BA
=
1
2

∴accosB=
1
2

∴tanB=2-
3

(Ⅱ)
2sin2
B
2
+2sin
B
2
cos
B
2
-1
cos(
π
4
-B)
=
2
(sinB-cosB)
cosB+sinB

=
2
(tanB-1)
1+tanB
=
2
(2-
3
-1)
1+2-
3
=-
6
3
点评:此题考查学生灵活运用余弦定理、同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦、余弦函数公式化简求值,是一道综合题.
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1
4
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1
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}
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