Question

（2010•泸州二模）已知首项为负的数列{a_n}中，相邻两项不为相反数，且前n项和为S_n=

1

4

(an-5)(an+7)．
（Ⅰ）证明数列{a_n}为等差数列；
（Ⅱ）设数列{

1

anan+1

}的前n项和为T_n，对一切正整数n都有T_n≥M成立，求M的最大值．

Answer 1

分析：（I）由S_n=

1

4

(an-5)(an+7)．结合通项与前n项和间的关系公式，求得（a_n+1-a_n-2）（a_n+1-a_n）=0
再由相邻两项不为相反数，有a_n+1-a_n=2符合等差数列的定义．
（II）由（I）知a_n=2n-7，将

1

anan+1

=

1

2

(

1

2n-7

-

1

2n-5

)变形，再用裂项相消法求得T_n，再通过单调性来求得其最小值即可．

解答：解：（I）∵S_n=

1

4

(an-5)(an+7)．
∵an+1=

1

4

(an+1-5)(an+1 +7)-

1

4

(an-5)(an+7)．
∴（a_n+1-a_n-2）（a_n+1-a_n）=0
∵相邻两项不为相反数
∴a_n+1-a_n=2
∴数列{a_n}为公差为2的等差数列；

（II）由（I）知a_n=2n-7
∴

1

anan+1

=

1

2

(

1

2n-7

-

1

2n-5

)
∴Tn=

1

2

(

1

-5

-

1

-3

+

1

-3

 -

1

1

 +…+

1

2n-7

 -

1

2n-5

) =

1

2

(

1

-5

-

1

2n-5

)
因为T_n在[1，2][3，+∝）上是增函数．
且T₁=

1

15

，T3= -

3

5

要使得对一切正整数n都有T_n≥M成立
只要M≤-

3

5

∴M的最大值为-

3

5

点评：本题主要考查两个问题，一是判断数列，方法一般是定义法或通项公式法，二是求前n项和，常用方法是倒序相加法，错位相减法，裂项相消法等．