Question

已知函数f（x）=x²+ax+2在区间[1，+∞）上单调递增
（1）求a的取值范围；
（2）当a取最小值时，求y=x³过点P（-a，0）的切线方程．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）根据函数的单调性和导数之间的关系即可求a的取值范围；
（2）当a取最小值时，求函数的导数，利用导数的几何意义即可求y=x³过点P（-a，0）的切线方程．

解答： 解：（1）求导得：f′（x）=2x+a，因为f（x）在[1，+∞）上单调递增，所以当x≥1时，
f′（x）≥0恒成立，即a≥-2x，只要a≥（-2x）_max=-2即可．
所以a的取值范围是：a≥-2．（或者由二次函数性质得出也可）
（2）由（1）知a的最小值为-2，设f（x）上一点Q（x₁，y₁），f（x）在Q处的切线的斜率为3x₁²，其切线y-x₁²=3x₁²（x-x₁）经过点P（2，0），
所以0-x₁²=3x₁²（2-x₁），解得：x₁=0或x₁=3
分别代入切线方程得过P点的切线方程为：y=27x-54或y=0．

点评：本题主要考查函数单调性的应用以及利用导数的几何意义求切线方程，要求熟练掌握导数的几何意义．