Question

已知向量

a

=（cos

3x

2

，sin

3x

2

），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），x∈[0，

π

2

]
（Ⅰ）用含x的式子表示

a

•

b

及|

a

+

b

|；
（Ⅱ）求函数f（x）=|

a

+

b

|的值域；
（Ⅲ）设g（x）=

a

•

b

+t|

a

+

b

|，若关于x的方程g（x）+2=0有两个不同的实数解，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量的综合题

专题：平面向量及应用

分析：（Ⅰ）由已知得

a

•

b

=cos

3x

2

cos

x

2

-sin

3x

2

sin

x

2

=cos2x，由此能求出

a

•

b

及|

a

+

b

|．
（Ⅱ）f（x）=

a

•

b

-4|

a

+

b

|=2（cosx-2）²-9，由此能求出f（x）的值域．
（Ⅲ）由g（x）+2=0，得：2cos²x+2tcosx+1=0，令cosx=u∈[0，1]，F（μ）=2μ²+2tμ+1，由此能求出实数t的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵

a

=（cos

3x

2

，sin

3x

2

），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），x∈[0，

π

2

]，
∴

a

•

b

=cos

3x

2

cos

x

2

-sin

3x

2

sin

x

2

=cos2x，…（2分）
|

a

+

b

|²=1+2cos2x+1
=2（1+cos2x）
=4cos²x，
∴|

a

+

b

|=2cosx，x∈[0，

π

2

]．…（4分）
（Ⅱ）f（x）=

a

•

b

-4|

a

+

b

|=cos2x-8cosx=2cos²x-8cosx-1=2（cosx-2）²-9，
又x∈[0，

π

2

]，
∴cosx∈[0，1]，f（x）∈[-7，-1]．…（8分）
（Ⅲ）由g（x）+2=0，
得：2cos²x+2tcosx+1=0，
令cosx=u∈[0，1]，F（μ）=2μ²+2tμ+1，
∴

△=4t2-8＞0 0＜- 2t 4 ＜1 F(0)=1≥0 F(1)=1+2t+1≥0

，…（10分）
解得t∈[-

3

2

，-

2

）．…（12分）

点评：本题考查向量的数量积和向量的模的求法，考查函数的值域的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意平面向量知识的合理运用．