Question

【题目】如图，在四面体中，平面平面， ， ， ．

（Ⅰ）若， ，求四面体的体积；

（Ⅱ）若二面角为，求异面直线与所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】试题分析:（1）先确定四面体的高: 设为的中点，则,再由面面垂直性质定理得，最后根据锥体体积公式求体积（2）先确定二面角平面角: 设为边的中点，由(1)可得为二面角的平面角,再利用平移找线线角: 设分别为边的中点，则根据三角形中位线性质可得，从而是异面直线与所成的角或其补角.最后通过解三角形可得异面直线与所成角的余弦值.

试题解析：（I）如图，设为的中点，由于，所以.

故由平面，知，

即是四面体的面上的高，

且.

在中，因为，

由勾股定理易知

故四面体的体积

（II）解法一：如答图，设分别为边的中点，则，从而是异面直线与所成的角或其补角.

设为边的中点，则，

由，知.又由（I）有，所以

又　故.

所以为二面角的平面角，由题设知

设

在，从而

因，故，从而，在中， ，

又从而在中，因，由余弦定理得

因此，异面直线与所成角的余弦值为

解法二：如下图，过作，交于，已知，

，易知两两垂直，以为原点，射线分别为轴， 轴， 轴的正半轴，建立空间直角坐标系

不妨设，由， ，

易知点的坐标分别为,则

显然向量是平面的法向量.

已知二面角为，

故可取平面的单位法向量，

使得，从而

设点的坐标为 由,取，有

易知与坐标系的建立方式不合，舍去.

因此点的坐标为

所以

从而

故异面直线与所成的角的余弦值为