Question

【题目】已知函数f（x）是一次函数，g（x）是反比例函数，且满足f[f（x）]=x+2，g（1）=﹣1
（1）求函数f（x）和g（x）；
（2）设h（x）=f（x）+g（x），判断函数h（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为f（x）是一次函数，g（x）是反比例函数

∴设f（x）=ax+b（a≠0），g（x）= （k≠0），

∵f[f（x）]=x+2，

∴a（ax+b）+b=x+2，

∴a2x+（a+1）b=x+2，

∴ ，解得：a=1，b=1，

故f（x）=x+1；

∵g（1）=﹣1，故k=﹣1，

故g（x）=﹣

（2）解：判断：函数h（x）在（0，+∞）上是增函数，

由（1）知h（x）= +1，设x1，x2是（0，+∞）上的任意两个实数，且x1＜x2，

h（x1）﹣h（x2）=（x1﹣ ）﹣（x2﹣ ）=（x1﹣x2）（1+ ），

∵0＜x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0，

∴h（x1）﹣h（x2）＜0，即h（x1）＜h（x2），

∴函数h（x）在（0，+∞）递增

【解析】（1）设出函数的解析式，通过待定系数法求出函数的解析式即可；（2）求出h（x）的解析式，根据函数单调性的定义判断函数的单调性即可．
【考点精析】本题主要考查了函数单调性的判断方法的相关知识点，需要掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较才能正确解答此题．