Question

4．已知函数f（x）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$sin$\frac{x}{2}$-$\frac{1}{2}$cos$\frac{x}{2}$．求
（1）函数f（x）的最值及对应自变量的取值；
（2）函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）利用两角差的正弦化简，由相位的终边分别落在y轴的正半轴和负半轴求得答案；
（2）直接利用复合函数的单调性求得原函数的单调区间．

解答 解：（1）由$f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin\frac{x}{2}-\frac{1}{2}cos\frac{x}{2}$，得：$f（x）=sin（{\frac{x}{2}-\frac{π}{6}}）$，
当$\frac{x}{2}-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+2kπ$，即$x=\frac{4π}{3}+4kπ$，k∈Z时，y_max=1；
当$\frac{x}{2}-\frac{π}{6}=-\frac{π}{2}+2kπ$，即$x=-\frac{2π}{3}+4kπ$，k∈Z时，y_min=-1．
（2）由$-\frac{π}{2}+2kπ≤\frac{x}{2}-\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，得$-\frac{2π}{3}+4kπ≤x≤\frac{4π}{3}+4kπ$，k∈Z．
∴函数f（x）的单调增区间为$[{-\frac{2π}{3}+4kπ，\frac{4π}{3}+4kπ}]（k∈Z）$；
由$\frac{π}{2}+2kπ≤\frac{x}{2}-\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，得$\frac{4π}{3}+4kπ≤x≤\frac{10π}{3}+4kπ$，k∈Z．
∴函数f（x）的单调减区间为$[{\frac{4π}{3}+4kπ，\frac{10π}{3}+4kπ}]$（k∈Z）．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，属中档题．