Question

16．给出下列3个命题：①若a，b∈R，则$\frac{a+b}{2}≥\sqrt{ab}$；②若x∈R，则x²+1＞x；③若x∈R且x≠0，则x+$\frac{1}{x}$≥2，其中真命题的序号为②．

Answer 1

分析 ①举例说明命题不成立；
②利用作差法证明命题正确；
③讨论x＞0与x＜0时，x+$\frac{1}{x}$的最值问题即可．

解答 解：对于①，当a＜0，b＜0时，$\frac{a+b}{2}≥\sqrt{ab}$不成立，∴①错误；
对于②，任意x∈R，有x²+1-x=${（x-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{4}$＞0
∴x²+1＞x，②正确；
对于③，当x＞0时，x+$\frac{1}{x}$≥2，当x＜0时，x+$\frac{1}{x}$≤-2；∴③错误
综上，真命题的序号是②．
故答案为：②．

点评 本题考查了不等式与不等关系的应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是基础题目．