Question

下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（　　）

• A、y=-log₂x（x＞0）
• B、y=x³+x（x∈R）
• C、y=3^x（x∈R）
• D、y=-

  1

  x

  （x∈R，x≠0）

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：求出函数的定义域，根据函数的奇偶性和单调性的定义，一一加以判断，即可得到在其定义域内既是奇函数又是增函数的函数．

解答： 解：对于A．y=-log₂x的定义域为（0，+∞）不关于原点对称，不为奇函数，排除A；
对于B．y=x³+x（x∈R）定义域R，f（-x）=（-x）³+（-x）=-f（x），即为奇函数，
又f′（x）=3x²+1＞0，即有f（x）在R上递增，故B正确；
对于C．y=3x，定义域为R，但f（-x）=3-x≠-f（x），即f（x）不是奇函数，排除C；
对于D．y=-

1

x

（x∈R，x≠0）定义域关于原点对称，且f（-x）=-f（x），是奇函数，
但在（-∞，0），（0，+∞）上均为增函数，排除D．
故选B．

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性及判断，注意运用定义法，同时首先考虑定义域，属于基础题和易错题．