Question

设函数f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）+2．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若对任意的a∈（1，2），总存在x₀∈[1，2]，使不等式f(x0)＞a+

9

4a

+m成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用导数法即可求得函数的单调区间；
（2）构造函数g（a）=a+

9

4a

+m，由题意得，即证f（x）_max＞g（a）_max，利用导数分别求出两函数的最大值，解不等式即得结论．

解答： 解：（1）函数的定义域为（-1，+∞），
f′（x）=2[（x+1）-

1

x+1

]=

2x(x+2)

x+1

，
由f'（x）＞0，得x＞0；
由f'（x）＜0，得-1＜x＜0
所以f（x）的递增区间是（0，+∞）；递减区间是（-1，0）．
（2）设g（a）=a+

9

4a

+m，g′（a）=1-

9

4a2

=0，∴a=

3

2

∴y=g（a）在a∈（1，

3

2

）上单调递减，在a∈（

3

2

，2）上单调递增，
又由（1）知f（x）在[1，2]上单调递增，
∴f（x）_max=f（2）=11-ln9…（12分）
又g（1）=

13

4

+m，g（2）=

25

8

+m，
∴g（1）＞g（2），
∴若对任意的a∈（1，2），总存在x₀∈[1，2]，使不等式f(x0)＞a+

9

4a

+m成立，则
∴11-ln9＞

13

4

+m
∴m＜

31

4

-ln9．

点评：本题考查利用导数判断函数的单调性及求函数的最大值等知识，考查等价转化思想的运用能力，属难题．