Question

已知函数f（x）=x²+ax+2ln（x-1），a是常数．
（1）若a=1，求y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）若f′（x）＞（a-3）x²对?x∈（2，3）恒成立，求a的取值范围．
（参考公式：3x³-x²-2x+2=（x+1）（3x²-4x+2））

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用导数的几何意义，求得切线斜率，由点斜式写出切线方程；
（2）由f′（x）＞（a-3）x²恒成立得a(x2-1)＜3x2+2x+

2

x-1

=

3x3-x2-2x+2

x-1

，对?x∈（2，3），x²-1＞0，所以a＜

3x3-x2-2x+2

(x-1)(x2-1)

=

(3x2-4x+2)(x+1)

(x-1)2(x+1)

=

3x2-4x+2

(x-1)2

，设g(x)=

3x2-4x+2

(x-1)2

，即a＜g（x）_min即可，利用导数求出g（x）的最小值，即得结论．

解答： 解：（1）由a=1，f/(x)=2x+1+

2

x-1

，…（1分）  
∴f′（2）=7…（2分），又f（2）=6
∴曲线y=f（x）在点（2，f（2））的切线为y-6=7（x-2）…（4分），
即y=f（x）在点（2，f（2））的切线为y=7x-8；…（5分）
（2）由f′（x）＞（a-3）x²得a(x2-1)＜3x2+2x+

2

x-1

=

3x3-x2-2x+2

x-1

…（6分），
对?x∈（2，3），x²-1＞0，所以a＜

3x3-x2-2x+2

(x-1)(x2-1)

=

(3x2-4x+2)(x+1)

(x-1)2(x+1)

=

3x2-4x+2

(x-1)2

…（8分），
设g(x)=

3x2-4x+2

(x-1)2

，则g/(x)=

-2x

(x-1)3

＜0…（10分），
g（x）在区间（2，3）单调递减…（11分），
∴a≤g(3)=

17

4

，a的取值范围为(-∞，

17

4

]…（14分）．

点评：本题主要考查利用导数研究曲线的切线方程及函数的最值问题，考查恒成立问题的等价转化能力，逻辑运算能力强，属难题．