【题目】如图,已知三棱柱的侧棱与底面垂直,
,
,M是
的中点,
是
的中点,点
在
上,且满足
.
(1)证明:.
(2)当取何值时,直线
与平面
所成的角
最大?并求该角最大值的正切值.
(3)若平面与平面
所成的二面角为
,试确定P点的位置.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析
【解析】
(1)以AB,AC,分别为
,
,
轴,建立空间直角坐标系
,求出各点的坐标及对应向量的坐标,易判断
,即
;(2)设出平面ABC的一个法向量,我们易表达出
,然后利用正弦函数的单调性及正切函数的单调性的关系,求出满足条件的
值,进而求出此时
的正线值;(3)平面PMN与平面ABC所成的二面角为
,则平面PMN与平面ABC法向量的夹角余弦值的绝对值为
,代入向量夹角公式,可以构造一个关于
的方程,解方程即可求出对应
值,进而确定出满足条件的点P的位置.
(1)证明:如图,以AB,AC,分别为
,
,
轴,建立空间直角坐标系
.
则,
,
,
从而,
,
,
所以.
(2)平面ABC的一个法向量为,
则(※).
而,当
最大时,
最大,
无意义,
除外,
由(※)式,当时,
,
.
(3)平面ABC的一个法向量为.
设平面PMN的一个法向量为,
由(1)得.
由得
,
解得,令
,得
,
∵平面PMN与平面ABC所成的二面角为,
∴,
解得.
故点P在的延长线上,且
.
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【题目】已知椭圆 的长轴长为4,焦距为
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过动点的直线交
轴与点
,交
于点
(
在第一象限),且
是线段
的中点.过点
作
轴的垂线交
于另一点
,延长
交
于点
.
(ⅰ)设直线的斜率分别为
,证明
为定值;
(ⅱ)求直线的斜率的最小值.
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【题目】如果你留心使会发现,汽车前灯后的反射镜呈抛物线的形状,把抛物线沿它的对称轴旋转一周,就会形成一个抛物面.这种抛物面形状,正是我们熟悉的汽车前灯的反射镜形状,这种形状使车灯既能够发出明亮的、照射很远的平行光束,又能发出较暗的,照射近距离的光线.我们都知道常规的前照灯主要是由灯泡、反射镜和透镜三部分组成,明亮的光束,是由位于抛物面形状反射镜焦点的光源射出的,灯泡位于抛物面的焦点上,灯泡发出的光经抛物面反射镜反射形成平行光束,再经过配光镜的散射、偏转作用,以达到照亮路面的效果,这样的灯光我们通常称为远光灯:而较暗的光线,不是由反射镜焦点的光源射出的,光线的行进与抛物线的对称轴不平行,光线只能向上和向下照射,所以照射距离并不远,如果把向上射出的光线遮住.车灯就只能发出向下的、射的很近的光线了.请用数学的语言归纳表达远光灯的照明原理,并证明.
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【题目】为了选拔学生参加全市中学生物理竞赛,学校先从高三年级选取60名同学进行竞赛预选赛,将参加预选赛的学生成绩(单位:分)按范围,
,
,
分组,得到的频率分布直方图如图:
(1)计算这次预选赛的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)若对得分在前的学生进行校内奖励,估计获奖分数线;
(3)若这60名学生中男女生比例为,成绩不低于60分评估为“成绩良好”,否则评估为“成绩一般”,试完成下面
列联表,是否有
的把握认为“成绩良好”与“性别”有关?
成绩良好 | 成绩一般 | 合计 | |
男生 | |||
女生 | |||
合计 |
附:,
临界值表:
0.10 | 0.05 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 |
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【题目】已知抛物线:
,圆
:
.
(1)若过抛物线的焦点
的直线
与圆
相切,求直线
方程;
(2)在(1)的条件下,若直线交抛物线
于
,
两点,
轴上是否存在点
使
(
为坐标原点)?若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】我国古代数学名著《九章算术》中记载了有关特殊几何体的定义:阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,堑堵指底面是直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱.
(1)某堑堵的三视图,如图1,网格中的每个小正方形的边长为1,求该堑堵的体积;
(2)在堑堵中,如图2,
,若
,当阳马
的体积最大时,求二面角
的大小.
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【题目】如图,某人打算做一个正四棱锥形的金字塔模型,先用木料搭边框,再用其他材料填充,已知金字塔的每一条棱和边都相等.
(1)求证:直线AC垂直于直线SD;
(2)若搭边框共使用木料24米,则需要多少立方米的填充材料才能将整个金字塔内部填满?
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【题目】已知无穷数列的各项都不为零,其前n项和为
,且满足
,数列
满足
,其中t为正整数.
求
;
若不等式
对任意
都成立,求首项
的取值范围;
若首项
是正整数,则数列
中的任意一项是否总可以表示为数列
中的其他两项之积?若是,请给出一种表示方式;若不是,请说明理由.
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