Question

设函数fn(x)=xn+bx+c(n∈N+，b，c∈R)
（Ⅰ）当b＞0时，判断函数f_n（x）在（0，+∞）上的单调性；
（Ⅱ）设n≥2，b=1，c=-1，证明：f_n（x）在区间(

1

2

，1)内存在唯一的零点；
（Ⅲ）设n=2，若对任意x₁，x₂∈[-1，1]，有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当b＞0时，由函数的解析式可得f_n（x）′=nx^n-1+b在（0，+∞）上大于零，从而得到函数f_n（x）在（0，+∞）上是增函数．
（Ⅱ）根据函数f_n（x）=xⁿ+x-1，再根据 fn(

1

2

)=(

1

2

)n+

1

2

-1＜0，f_n（1）=1＞0，结合函数在（0，+∞）上是增函数以及函数零点的判定定理，证得结论．
（Ⅲ）由于f₂（x）=x²+bx+c，它的对称轴为x=-

b

2

，分故当-

b

2

≤-1、分当-

b

2

≥1、当-1＜-

b

2

≤0、当 0＜-

b

2

＜1四种情况，分别利用条件以及二次函数的性质求得b的范围，综合可得结论．

解答：解：（Ⅰ）当b＞0时，由函数fn(x)=xn+bx+c(n∈N+，b，c∈R)，
可得f_n（x）′=nx^n-1+b在（0，+∞）上大于零，故函数f_n（x）在（0，+∞）上是增函数．
（Ⅱ）设n≥2，b=1，c=-1，则函数f_n（x）=xⁿ+x-1，
再根据 fn(

1

2

)=(

1

2

)n+

1

2

-1＜0，f_n（1）=1＞0，
结合函数在（0，+∞）上是增函数，可得f_n（x）在区间(

1

2

，1)内存在唯一的零点．
（Ⅲ）由于n=2，f₂（x）=x²+bx+c，它的对称轴为x=-

b

2

，
由于对任意x₁，x₂∈[-1，1]，有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，
故当-

b

2

≤-1，即 b≥2时，f₂（x）_max-f₂（x）_min=f₂（1）-f₂（-1）=2b≤4，∴b=2．
当-

b

2

≥1，即 b≤-2时，f₂（x）_max-f₂（x）_min=f₂（-1）-f₂（1）=-2b≤4，∴b=-2．
当-1＜-

b

2

≤0，即0≤b＜2时，f₂（x）_max-f₂（x）_min=f2(1)-f2(-

b

2

)=

b2

4

+b+1≤4，
解得-6≤b≤2；结合0≤b＜2可得 0≤b＜2．
当 0＜-

b

2

＜1，即-2＜b＜0时，f₂（x）_max-f₂（x）_min=f2(-1)-f2(-

b

2

)=

b2

4

-b+1≤4，
解得-2≤b≤6；结合-2＜b＜0可得-2＜b＜0．
综上可得，-2≤b≤2，即b得范围为[-2，2]．

点评：本题主要考查函数的单调性的判断和证明，函数零点的判定定理，求二次函数在闭区间上的最值，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．