Question

（本小题满分12分）

                                                       

已知f (x)＝．

（1）求函数f (x)的值域．

（2）若f (t)＝3，求t的值．

（3）用单调性定义证明在［2，＋∞）上单调递增．

 

Answer 1

【答案】

（1）（－∞，＋∞）;（2）;（3）见解析。

【解析】

试题分析：（1）注意分段函数定义域和值域的求法和要求，第一段值域为（－∞，1］，第二段值域为（0，4），

第三段值域为［4，＋∞），综上，函数的值域为（－∞，＋∞）．       ……4分

（2）g (t)＝3，即t＋2＝3，t≤－1，不存在；

x²＝3，－1＜x＜2，解得：x＝，即t＝；

2x＝3，x≥2，x不存在．

综上，t的值为．              ……8分

（3）因为函数在［2，＋∞）上的解析式为f (x)＝2x，任取x₁，x₂∈［2，＋∞），且x₁＜x₂，则

f (x₁)－f (x₂)＝2x₁－2x₂＝2(x₁－x₂)＜0，所以函数在［2，＋∞）上单调递增．  ……12分

考点：本题考查分段函数、利用定义证明函数的单调性。

点评：分段函数的值域是各段表达式的y值的并集。