Question

（2010•石家庄二模）已知动圆M经过点G（0，-1），且与圆Q：x²+（y-1）²=8内切．
（Ⅰ）求动圆M的圆心的轨迹E的方程．
（Ⅱ）以m=(1，

2

)为方向向量的直线l交曲线E于不同的两点A、B，在曲线E上是否存在点P使四边形OAPB为平行四边形（O为坐标原点）．若存在，求出所有的P点的坐标与直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）依题意，动圆与定圆相内切，得|MG|+|MQ|=2

2

，可知M到两个定点G、Q的距离和为常数，根据椭圆的定义即可求得动点M（x，y）的轨迹E的方程；
（Ⅱ）假设存在在曲线E上是否存在点P使四边形OAPB为平行四边形，设出直线l的方程，联立直线和椭圆方程，利用平行四边形的充要条件结合韦达定理即可得出结论．

解答：解：（Ⅰ）依题意，点G（0，-1）在圆Q：x²+（y-1）²=8内部，
动圆与定圆相内切，且动圆在定圆内部，
∴得|MG|+|MQ|=2

2

，
可知M到两个定点G、Q的距离和为常数，并且常数大于|GQ|，所以P点的轨迹为椭圆，可以求得a=

2

，c=1，b=1，
所以曲线E的方程为x2+

y2

2

=1．…5分
（Ⅱ）假设E上存在点P，使四边形OAPB为平行四边形．
由 （Ⅰ）可知曲线E的方程为x2+

y2

2

=1．
设直线l的方程为y=

2

x+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由

y= 2 x+m x2+ y2 2 =1.

，得4x2+2

2

mx+m2-2=0，
由△＞0得m²＜4，且x1+x2=-

2 m

2

，x1x2=

m2-2

4

，…7分
则y1y2=(

2

x1+m)(

2

x2+m)=

m2-2

2

，y₁+y₂=(

2

x1+m)+(

2

x2+m)=m，E上的点P使四边形OAPB为平行四边形的充要条件是

OP

=

OA

+

OB

，
即P点的坐标为（x₁+x₂，y₁+y₂）
且(x1+x2)2+

(y1+y2)2

2

=1，
又x12+

y12

2

=1，x22+

y22

2

=1，所以可得2x₁x₂+y₁y₂+1=0，…9分
可得m²=1，即m=1或m=-1．
当m=1时，P(-

2

2

，1)，直线l方程为y=

2

x+1；
当m=-1时，P(

2

2

，-1)，直线l方程为y=

2

x-1．  12分．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，