Question

（2010•石家庄二模）已知△ABC中，内角A、B、C的对边的边长为a、b、c，且bcosC=（2a-c）cosB．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若y=cos²A+cos²C，求y的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由正弦定理化简已知的等式，移项后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据A为三角形的内角，得到sinA不为0，进而得到cosB的值，再由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（Ⅱ）由第一问求出的B的度数，根据内角和定理得到A+C的度数，进而得到2A+2C的度数，用2A表示出2C，接着把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简，把表示出的2C代入，利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值变形，合并后再利用两角和与差的正弦函数公式把所求式子化为一个角的正弦函数，由2A的范围，得到这个角的范围，得到正弦函数的值域，即可得到所求式子的范围．

解答：解：（Ⅰ）由正弦定理可得：sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB，（2分）
即sin（B+C）=2sinAcosB，
因为0＜A＜π，所以sinA≠0，
∴cosB=

1

2

，
∴B=

π

3

；（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知2A+2C=

4π

3

，
则y=cos²A+cos²C
=

1+cos2A

2

+

1+cos2C

2

=1+

1

2

[cos2A+cos(

4π

3

-2A)]=1+

1

2

(

1

2

cos2A-

3

2

sin2A)
=1-

1

2

sin(2A-

π

6

)
∵0＜2A＜

4π

3

，
∴-

π

6

＜2A-

π

6

＜

7π

6

，
则-

1

2

＜sin(2A-

π

6

)≤1，（8分）
所以y的取值范围为[

1

2

，

5

4

)．（10分）

点评：此题考查了正弦定理，诱导公式，两角和与差的正弦、余弦函数公式，二倍角的余弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．