Question

【题目】某公司为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销，经调查，每年投入广告费t百万元，可增加销售额约为百万元.

（Ⅰ）若该公司将一年的广告费控制在4百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此增加的收益最大？

（Ⅱ）现该公司准备共投入5百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费百万元，可增加的销售额约为百万元，请设计一个资金分配方案，使该公司由此增加的收益最大.

（注：收益=销售额-投入，这里除了广告费和技术改造费，不考虑其他的投入）

Answer 1

【答案】（1）投入3百万元的广告费时，该公司由此增加的收益最大.（2）4百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此增加的收益最大

【解析】分析：（Ⅰ）先写出收益f(t)的解析式，再利用二次函数的图像和性质求最大值和此时t 的值. （Ⅱ）设由此增加的收益是g(x)百万元,再写出g(x)的解析式，再利用导数求函数的最值，即得资金分配方案.

详解：（Ⅰ）设投入t百万元的广告费后增加的收益为f(t)百万元，

则由，

∴当t=3时，f(t)取得最大值9，即投入3百万元的广告费时，该公司由此增加的收益最大.

（Ⅱ）用于技术改造的资金为x百万元，则用于广告促销的资金为(5-x)百万元，设由此增加的收益是g(x)百万元.

则.

.

则当时，；当时，.

∴当x=4时，g(x)取得最大值.

即4百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此增加的收益最大.