【题目】已知函数.
(1)当时,求函数在点处的切线方程;
(2)若函数有两个不同极值点,求实数的取值范围;
(3)当时,求证:对任意,恒成立.
【答案】(1)(2)(3)见解析
【解析】
(1)当时,求导数,将切点横坐标带入导数得到斜率,再计算切线方程.
(2)求导,取导数为0,参数分离得到,设右边为新函数,求出其单调性,求得取值范围得到答案.
(3)将导函数代入不等式,化简得到,设左边为新函数,根据单调性得到函数最值,得到证明.
(1)当时,.
∴
∴,又∵
∴,即
∴函 数 在点处的切线方程为.
(2)由题意知,函数的定义域为, ,
令,可得,
当时,方程仅有一解,∴,
∴
令
则由题可知直线与函数的图像有两个不同的交点.
∵
∴当时,,为单调递减函数;
当时,,为单调递增函数.
又∵,,且当时,
∴,
∴
∴实数的取值范围为.
(3)∵
∴要证对任意,恒成立
即证成立
即证成立
设
∴
∵时,易知在上为减函数
∴
∴在上为减函数
∴
∴成立
即对任意,恒成立.
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【题目】随着互联网的不断发展,手机打车软件APP也不断推出.在某地有AB两款打车APP,为了调查这两款软件叫车后等候的时间,用这两款APP分别随机叫了50辆车,记录了候车时间如下表:
A款软件:
候车时间(分钟) | ||||||
车辆数 | 2 | 12 | 8 | 12 | 14 | 2 |
B款软件:
候车时间(分钟) | ||||||
车辆数 | 2 | 10 | 28 | 7 | 2 | 1 |
(1)试画出A款软件候车时间的频率分布直方图,并估计它的众数及中位数;
(2)根据题中所给的数据,将频率视为概率
(i)能否认为B款软件打车的候车时间不超过6分钟的概率达到了75%以上?
(ii)仅从两款软件的平均候车时间来看,你会选择哪款打车软件?
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【题目】纸上写有1,2,…,n这n个正整数,第1步划去前面4个数1,2,3,4在n的后面写上划去的4个数的和10;第2步再划去前面的4个数5,6,7,8在最后写上划去的4个数的和26:如此下去(即每步划去前面4个数,在最后面写上划去的4个数的和)
(1)若最后只剩下一个数,则n应满足的充要条件是什么?
(2)取n=2002到最后只剩下一个数为止,所有写出的数(包括原来的1,2…,2002)的总和是多少?
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【题目】给出以下四个结论:
①过点,在两轴上的截距相等的直线方程是;
②若是等差数列的前n项和,则;
③在中,若,则是等腰三角形;
④已知,,且,则的最大值是2.
其中正确的结论是________(写出所有正确结论的番号).
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【题目】一幅标准的三角板如图(1)中,为直角,,为直角,,且,把与拼齐使两块三角板不共面,连结如图(2).
(1)若是的中点,求证:;
(2)在《九章算术》中,称四个面都是直角三角形的三棱锥为“鳖臑”,若图(2)中,三棱锥的体积为,则图(2)是否为鳖臑?说明理由.
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【题目】“三个臭皮匠,赛过诸葛亮”,这是我们常说的口头禅,主要是说集体智慧的强大. 假设李某智商较高,他独自一人解决项目M的概率为;同时,有个水平相同的人也在研究项目M,他们各自独立地解决项目M的概率都是.现在李某单独研究项目M,且这个人组成的团队也同时研究项目M,设这个人团队解决项目M的概率为,若,则的最小值是( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
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【题目】已知函数.
(1)当时,求函数的零点.
(2)当,求函数在上的最大值;
(3)对于给定的正数,有一个最大的正数,使时,都有,试求出这个正数的表达式.
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