Question

（1）已知函数f(x)=

ax-1

ax+1

（a＞0且a≠1）．
（Ⅰ） 求f（x）的定义域和值域；
（Ⅱ） 讨论f（x）的单调性．
（2）已知f（x）=2+log₃x（x∈[1，9]），求函数y=[f（x）]²+f（x²）的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（1）（Ⅰ）易得f（x）的定义域为{x|x∈R}．设y=

ax-1

ax+1

，解得a^x=-

y+1

y-1

①，根据a^x＞0，可得当且仅当-

y+1

y-1

＞0时，方程①有解．解-

y+1

y-1

＞0，求得y的范围．
（Ⅱ）f（x）=

(ax+1-2)

ax+1

=1-

2

ax+1

，分当a＞1时和 当0＜a＜1时，两种情况，分别研究函数的单调性．
（2）根据 1≤x≤9，可得 0≤log₃x≤2，由此可得 4≤f²（x）≤16．再由 1≤x≤9，可得 1≤x²≤81，得 2≤f（x²）=2+log3x2≤6．由此求得函数y=[f（x）]²+f（x²）的最大值和最小值．

解答：（1）解：（Ⅰ）易得f（x）的定义域为{x|x∈R}．设y=

ax-1

ax+1

，解得a^x=-

y+1

y-1

①
∵a^x＞0当且仅当-

y+1

y-1

＞0时，方程①有解．解-

y+1

y-1

＞0，求得-1＜y＜1．
∴f（x）的值域为{y|-1＜y＜1}．
（Ⅱ）f（x）=

(ax+1-2)

ax+1

=1-

2

ax+1

．
1°当a＞1时，∵a^x+1为增函数，且a^x+1＞0．
∴

2

ax+1

为减函数，从而f（x）=1-

2

ax+1

=

ax-1

ax+1

为增函数．
2°当0＜a＜1时，类似地可得f（x）=

ax-1

ax+1

 为减函数．
（2）解：∵1≤x≤9，可得 0≤log₃x≤2，∴2≤f（x）≤4，∴4≤f²（x）≤16．
∵1≤x≤9，可得 1≤x²≤81，0≤log3x2≤4，∴2≤f（x²）=2+log3x2≤6．
故函数y=[f（x）]²+f（x²）的最大值为16+6=22，最小值为 4+2=6．

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质，分式不等式的解法，属于中档题．