Question

设x＞0，求证：

1

x+1

＜ln

x+1

x

＜

1

x

．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：证明题,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：令

x+1

x

=t，则x=

1

t-1

（t＞1），原不等式即为1-

1

t

＜lnt＜t-1．令f（t）=t-1-lnt，g（t）=lnt-1+

1

t

，分别求出它们的导数，判断在t＞1上的单调性，再由单调性即可得证．

解答： 证明：令

x+1

x

=t，则x=

1

t-1

（t＞1），
原不等式即为1-

1

t

＜lnt＜t-1．
令f（t）=t-1-lnt，f′（t）=1-

1

t

，
当t＞1时，f′（t）＞0，即f（t）在t＞1时递增，
即有f（t）＞f（1）=0，
即为lnt＜t-1；
令g（t）=lnt-1+

1

t

，g′（t）=

1

t

-

1

t2

=

t-1

t2

，
当t＞1时，g′（t）＞0，即g（t）在t＞1递增，
则g（t）＞g（1）=0，
即为lnt＞1-

1

t

．
即有1-

1

t

＜lnt＜t-1．
故有原不等式成立．

点评：本题考查不等式的证明，考查换元法和运用导数证明不等式，考查推理能力，属于中档题．