Question

2015年元旦联欢晚会某师生一块做游戏，数学老师制作了六张卡片放在盒子里，卡片上分别写着六个函数：分别写着六个函数：f₁（x）=x²+1，f₂（x）=x³，f₃（x）=

ln|x|

x

，f₄（x）=xcosx，f₅（x）=|sinx|，f₆（x）=3-x．
（1）现在取两张卡片，记事件A为“所得两个函数的奇偶性相同”，求事件A的概率；
（2）从盒中不放回逐一抽取卡片，若取到一张卡片上的函数是奇函数则停止抽取，否则继续进行，记停止时抽取次数为ξ，写出ξ的分布列，并求其数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（1）由等可能事件概率计算公式能求出事件A的概率．
（2）由题意得ξ的可能取值为1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答： 解：（1）由题意知f₂（x）=x³，f₃（x）=

ln|x|

x

，f₄（x）=xcosx都是奇函数，
f₁（x）=x²+1，f₅（x）=|sinx|都是偶函数，f₆（x）=3-x是非奇非偶函数，
取两张卡片，记事件A为“所得两个函数的奇偶性相同”，
则事件A的概率P（A）=

C 2 3 + C 2 2

C 2 6

=

4

15

．
（2）由题意得ξ的可能取值为1，2，3，4，
P（ξ=1）=

C 1 3

C 1 6

=

1

2

，
P（ξ=2）=

C 1 3 C 1 3

C 1 6 C 1 5

=

3

10

，
P（ξ=3）=

C 1 3 C 1 2 C 1 3

C 1 6 C 1 5 C 1 4

=

3

20

，
P（ξ=4）=

C 1 3 C 1 2 C 1 3

C 1 6 C 1 5 C 1 4 C 1 3

=

1

20

，
∴ξ的分布列为：

ξ	1	2	3	4
P	1 2	3 10	3 20	1 20

Eξ=1×

1

2

+2×

3

10

+3×

3

20

+4×

1

20

=

7

4

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．