Question

已知函数f(x)=-x²+8x，g(x)=6lnx+m，
（Ⅰ）求f(x)在区间[t，t+1]上的最大值h(t)；
（Ⅱ）是否存在实数m，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ），
当t+1＜4，即t＜3时，f(x)在[t，t+1]上单调递增，
；
当t≤4≤t+1时，即3≤t≤4时，h(t)=f(4)=16；
当t＞4时，f(x)在[t，t+1]上单调递减，；
综上，；
（Ⅱ）令，
∴，
当x∈（0，1）时，是增函数；
当x∈（1，3）时，是减函数；
当x∈（3，+∞）时，是增函数；
当x=1或x=3时，=0，
所以，，
∵当x充分接近0时，＜0；当x充分大时，＞0，
∴要使的图象与x轴的正半轴有三个不同的交点，
必须且只需，
∴，
故存在实数m，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点。