Question

设F为抛物线y²=2x-1的焦点，Q （a，2）为直线y=2上一点，若抛物线上有且仅有一点P满足|PF|=|PQ|，则a的值为

0或1

．

Answer 1

分析：先设P（x，y），根据抛物线的方程易得抛物线y²=2x-1的焦点坐标，由|PF|=|PQ|利用两点间的距离公式结合抛物线的方程消x得出关于y的一元方程（a-1）y²+4y-a²+a-4=0，通过讨论此方程解的情况即可求出正确答案．

解答：解：设P（x，y）．
易得抛物线y²=2x-1的焦点：F（1，0）
由|PF|=|PQ|⇒（x-1）²+y²=（x-a）²+（y-2）²
对上式整理得：2（a-1）x=a²-4y+3
2（a-1）x=a²-4y+3
将2x=y²+1代入上式得：（a-1）y²+4y-a²+a-4=0
当a=1时⇒方程只有一解：x=1，y=1
当a≠1时，由△=0⇒a=0⇒方程只有一解：x=

5

2

，y=2
综上所述：a=0或a=1．
故答案为：0或1．

点评：本小题主要考查抛物线的简单性质、抛物线的方程的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查方程思想、化归与转化思想．属于基础题．