Question

设F为抛物线y²=4x的焦点，A、B为该抛物线上两点，若

FA

+2

FB

=

0

，则|

FA

|+2|

FB

|等于

 

．

Answer 1

分析：先过A，B两点分别作准线的垂线，再过B作AC的垂线，垂足为E，如图，在直角三角形ABE中，求得cos∠BAE=

AE

AB

=

1

3

得出直线AB的斜率，进而得到直线AB的方程为：y=2

2

（x-1），将其代入抛物线的方程求得A，B的坐标，最后利用距离公式求得结果即可．

解答：解：过A，B两点分别作准线的垂线，再过B作AC的垂线，垂足为E，
设BF=m，则BD=m，
∵

FA

+2

FB

=

0

，
∴AC=AF=2m，
如图，在直角三角形ABE中，
AE=AC-BD=2m-m=m，
AB=3m，∴cos∠BAE=

AE

AB

=

1

3

∴直线AB的斜率为：k=tan∠BAE=2

2

∴直线AB的方程为：y=2

2

（x-1）
将其代入抛物线的方程化简得：2x²-5x+2=0
∴x₁=2，x₂=

1

2

∴A（2，2

2

）．B（

1

2

，

2

），又F（1，0）
则|

FA

|+2|

FB

|=2

1+8

=6．
故答案为：6．

点评：本题主要考查了抛物线的简单性质、共线向量及解三角形的知识，解答本题的关键是利用抛物线的定义作出直角三角形ABE，从而求得直线的斜率，体现了数形结合起来的思想．