Question

12．已知一个扇形的周长是12cm，
（1）若扇形的圆心角α=30⁰，求该扇形的半径
（2）当扇形半径为何值时，这个扇形的面积最大？别求出此时的圆心角．

Answer 1

分析 （1）设出扇形的半径，求出扇形的弧长，利用周长公式，求出半径．
（2）首先，设扇形的弧长，然后，建立关系式，求解S=$\frac{1}{2}$lR=-R²+6R，结合二次函数的图象与性质求解最值即可．

解答 解：（1）设扇形的半径为：R，扇形的圆心角α=30⁰=$\frac{π}{6}$，
可得：2R+L=12，
所以2R+$\frac{π}{6}$R=12，
所以解得：R=$\frac{72}{12+π}$．
（2）设扇形的弧长为l，
∵l+2R=12，
∴S=$\frac{1}{2}$lR=$\frac{1}{2}$（12-2R）R
=-R²+6R
=9-（R-3）²，
∴当R=3时，扇形有最大面积9，
此时l=12-2R=6，α=$\frac{l}{R}$=2，
故当扇形的圆心角为2时，扇形有最大面积9．

点评 本题重点考查了扇形的面积公式、弧长公式、二次函数的最值等知识，熟练扇形的弧长公式以及扇形面积公式是关键，考查计算能力，属于基础题．