Question

3．已知命题p：关于x的函数y=x²-3ax+4在[1，+∞）上是增函数，命题q：关于x的函数y=（2a-1）^x在[1，+∞）上是减函数．若“p且q”为真命题，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，$\frac{2}{3}$]
• B． （0，$\frac{1}{2}$）
• C． （$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$]
• D． （$\frac{1}{2}$，1）

Answer 1

分析 对于命题p：利用二次函数的单调性可得$\frac{3a}{2}$≤1，解得a范围．对于命题q：利用指数函数的单调性可得：0＜2a-1＜1，解得a范围．由于“p且q”为真命题，可得p与q都为真命题，即可得出．

解答 解：命题p：∵关于x的函数y=x²-3ax+4在[1，+∞）上是增函数，∴$\frac{3a}{2}$≤1，解得$a≤\frac{2}{3}$．
命题q：关于x的函数y=（2a-1）^x在[1，+∞）上是减函数，∴0＜2a-1＜1，解得$\frac{1}{2}＜a＜1$．
∵“p且q”为真命题，∴$\left\{\begin{array}{l}{a≤\frac{2}{3}}\\{\frac{1}{2}＜a＜1}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{2}＜a≤\frac{2}{3}$．
则实数a的取值范围是$（\frac{1}{2}，\frac{2}{3}]$．
故选：C．

点评 本题考查了二次函数与指数函数的单调性、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．