Question

13．已知数列{a_n}的各项均为正数，对任意n∈N^*，它的前n项和S_n，满足S_n=$\frac{1}{6}$（a_n+1）（a_n+2），并且a₂，a₄，a₉成等比数列．
（1）求数列（a_n}的通项公式．
（2）设b_n=（-1）ⁿ⁺¹a_na_n+1，T_n为数列{b_n}的前n项和，求T_n．

Answer 1

分析 （1）当n≥2时利用a_n=S_n-S_n-1，进而计算可知a_n-a_n-1=3，利用a₂，a₄，a₉成等比数列可知a₁=1，进而计算可得结论；
（2）通过（1）可知a_na_n+1=（3n-2）（3n+1），分n为奇数、偶数两种情况讨论即可．

解答 解：（1）∵S_n=$\frac{1}{6}$（a_n+1）（a_n+2），
∴当n≥2时，S_n-1=$\frac{1}{6}$（a_n-1+1）（a_n-1+2），
两式相减得：6a_n=（${{a}_{n}}^{2}$+3a_n）-（${{a}_{n-1}}^{2}$+3a_n-1），
又∵数列{a_n}的各项均为正数，
∴a_n-a_n-1=3，
又∵S₁=$\frac{1}{6}$（a₁+1）（a₁+2），
∴${{a}_{1}}^{2}$-3a₁+2=0，即a₁=1或a₁=2，
又∵a₂，a₄，a₉成等比数列，
∴$（{a}_{1}+9）^{2}$=（a₁+3）（a₁+24），
解得：a₁=1，
∴数列{a_n}是首项为1，公差为3的等差数列，
∴a_n=1+3（n-1）=3n-2；
（2）∵a_n=3n-2，
∴a_na_n+1=（3n-2）（3n+1），
当n为偶数时，T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+a_n-1a_n-a_na_n+1
=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃-a₅）+…+a_n（a_n-1-a_n+1）
=-6（a₂+a₄+…+a_n）
=-6×$\frac{\frac{n}{2}（4+3n-2）}{2}$
=-$\frac{9{n}^{2}+6n}{2}$；
当n为奇数时，T_n=T_n-1+a_na_n+1
=-$\frac{9（n-1）^{2}+6（n-1）}{2}$+（3n-2）（3n+1）
=$\frac{9}{2}$n²+3n-$\frac{7}{2}$；
综上所述，T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{9{n}^{2}+6n}{2}，}&{n为偶数}\\{\frac{9{n}^{2}+6n-7}{2}，}&{n为奇数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．