Question

13．已知函数f（x）=e^x（ax²-2x+2），其中a＞0．
（1）若曲线y=f（x）在x=2处的切线与直线x+e²y-1=0垂直，求实数a的值．
（2）讨论f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得切线的斜率，运用两直线垂直的条件可得a的方程，可得a的值；
（2）求出f（x）的导数，分解因式，讨论a=1，0＜a＜1，a＞1，令导数大于0，可得增区间，令导数小于0，可得减区间．

解答 解：（1）函数f（x）=e^x（ax²-2x+2）的导数为f′（x）=e^x[ax²+2（a-1）x]，
由于在x=2处的切线与直线x+e²y-1=0垂直，
即有e²（8a-4）=e²，解得a=$\frac{5}{8}$；
（2）∵f′（x）=e^x[ax²+2（a-1）x]=ae^x•x（x-$\frac{2（1-a）}{a}$），
当a=1时，f′（x）=e^x•x²≥0，f（x）在R上递增；
当0＜a＜1时，$\frac{2（1-a）}{a}$＞0，则f′（x）＞0，可得x＞$\frac{2（1-a）}{a}$，或x＜0，
f′（x）＜0，可得0＜x＜$\frac{2（1-a）}{a}$，
即有f（x）的减区间为（0，$\frac{2（1-a）}{a}$），增区间为（-∞，0），（$\frac{2（1-a）}{a}$，+∞）；
当a＞1时，$\frac{2（1-a）}{a}$＜0，则f′（x）＞0，可得x＜$\frac{2（1-a）}{a}$，或x＞0，
f′（x）＜0，可得$\frac{2（1-a）}{a}$＜x＜0，
即有f（x）的减区间为（$\frac{2（1-a）}{a}$，0），增区间为（-∞，$\frac{2（1-a）}{a}$），（0，+∞）．

点评 本题主要考查了利用导数求切线的斜率以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查分类讨论的思想方法，属于中档题．