Question

4．已知数列{a_n}满足：a₁=2，a_n+1=$\frac{{1+{a_n}}}{{1-{a_n}}}（n∈{N^*}）$，则a₁a₂…a₂₀₁₅的值是（　　）

• A． -6
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 通过计算出前几项的值确定周期，进而计算可得结论．

解答 解：依题意，a₂=$\frac{1+{a}_{1}}{1-{a}_{1}}$=$\frac{1+2}{1-2}$=-3，
a₃=$\frac{1{+a}_{2}}{1-{a}_{2}}$=$\frac{1-3}{1+3}$=-$\frac{1}{2}$，
a₄=$\frac{1+{a}_{3}}{1-{a}_{3}}$=$\frac{1-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{3}$，
a₅=$\frac{1+{a}_{4}}{1-{a}_{4}}$=$\frac{1+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}$=2，
∴数列{a_n}是以4为周期的周期数列，且a₁a₂a₃a₄=2•（-3）•（-$\frac{1}{2}$）•$\frac{1}{3}$=1，
又∵2015=503•4+3，
∴a₁a₂…a₂₀₁₅=1⁵⁰³•a₁a₂a₃=2•（-3）•（-$\frac{1}{2}$）=3，
故选：B．

点评 本题考查数列的通项，找出周期是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．