Question

已知函数y=f（x），x∈N^*，y∈N^*，满足：①对任意a，b∈N^*，a≠b，都有af（a）+bf（b）＞af（b）+bf（a）；②对任意n∈N^*都有f[f（n）]=3n．
（I）试证明：f（x）为N^*上的单调增函数；
（II）求f（1）+f（6）+f（28）；
（III）令a_n=f（3ⁿ），n∈N^*，试证明：.．

Answer 1

解：（I）由①知，对任意a，b∈N^*，a＜b，都有（a-b）（f（a）-f（b））＞0，
由于a-b＜0，从而f（a）＜f（b），
所以函数f（x）为N^*上的单调增函数．
（II）令f（1）=a，则a≥1，显然a≠1，否则f（f（1））=f（1）=1，与f（f（1））=3矛盾．
从而a＞1，而由f（f（1））=3，
即得f（a）=3．
又由（I）知f（a）＞f（1）=a，即a＜3．
于是得1＜a＜3，又a∈N^*，
从而a=2，即f（1）=2．
进而由f（a）=3知，f（2）=3．
于是f（3）=f（f（2））=3×2=6，
f（6）=f（f（3））=3×3=9，
f（9）=f（f（6））=3×6=18，
f（18）=f（f（9））=3×9=27，
f（27）=f（f（18））=3×18=54，
f（54）=f（f（27））=3×27=81，
由于54-27=81-54=27，
而且由（I）知，函数f（x）为单调增函数，
因此f（28）=54+1=55．
从而f（1）+f（6）+f（28）=2+9+55=66．
（III）f（a_n）=f（f（3ⁿ））=3×3ⁿ=3ⁿ⁺¹，a_n+1=f（3ⁿ⁺¹）=f（f（a_n））=3a_n，a₁=f（3）=6．
即数列{a_n}是以6为首项，以3为公比的等比数列．
∴a_n=6×3^n-1=2×3ⁿ（n=1，2，3）．
于是，
显然，
另一方面3ⁿ=（1+2）ⁿ=1+C_n¹×2+C_n²×2²++C_nⁿ×2ⁿ≥1+2n，
从而．
综上所述，．
分析：（1）由已知条件中对任意a，b∈N^*，a≠b，我们不妨令a＜b，则可将已知中af（a）+bf（b）＞af（b）+bf（a）变形为（a-b）（f（a）-f（b））＞0由a＜b判断出f（a）-f（b）的符号，结合单调性的定义，即可作出结论．
（2）由对任意n∈N^*都有f[f（n）]=3n．我们不妨令f（1）=a，然后分a＜1，a=1，a＞1三类进行讨论，再由a∈N^*，可以求出a值，结合（1）的结论，及y∈N^*，我们不难得到函数值与自变量之间的对应关系．
（3）a_n=f（3ⁿ），则易得f（a_n）=f（f（3ⁿ））=3×3ⁿ=3ⁿ⁺¹，a_n+1=f（3ⁿ⁺¹）=f（f（a_n））=3a_n，a₁=f（3）=6．分析可知数列{a_n}是以6为首项，以3为公比的等比数列再利用放缩法可证明成立．
点评：（1）对于抽象函数的函数值的求法，我们不可能求出函数的解析式，但观察到af（a）+bf（b）＞af（b）+bf（a）移项分解后的形式，故可据此分析函数的单调性；（2）中分类讨论求f（1）的值，及根据已知条件和（1）的结论得到f（28）值用到需要较强的逻辑能力；（3）中放缩法是证明不等式常用的方法，要求大家了解并学会使用．