【题目】已知函数
.
（1）当
时，试讨论函数
的单调性，并求出函数的极值；
（2）若
恒成立，求
的最大值.
【答案】（1）①当
时， 
在
上单调递增， 无极值，②当
时， 在
上单调递增，在
上单调递减， 的极大值
， 无极小值（2）
【解析】
（1）求出导数，分，两类讨论求函数的单调区间及极值（2）原不等式恒成立转化为
恒成立，对
求导数，分，两种情况讨论，求出最小值，可得
，构造函数
，利用导数求最大值即可.
（1）
①当时，的定义域为，
，
在上单调递增，且无极值
②当时，的定义域为
，
，
在上单调递增，在上单调递减，
当
时，取得极大值，且无极小值
（2）
，
.
若，由
知
，取
，使得
，
则
，而
，
所以
，所以
，与
矛盾
故，且
，
故在
上单调递增，在
上单调递减，
因此
，故
所以
记，则
，则
在
上单调递增，在
上单调递减，因此
，
所以当
，
时，
取得最大值.
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【题目】已知函数
有极值，且导函数
的极值点是
的零点，给出命题：①
；②若
，则存在
，使得
；③若有两个极值点
，
，则
；④若
，且
是曲线
,
的一条切线，则
的取值范围是
；则以上命题正确序号是______.
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【题目】2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日
点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：
.
设
，由于
的值很小，因此在近似计算中
，则r的近似值为
A. 
B. 
C. 
D. 
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【题目】甲、乙两班举行数学知识竞赛，参赛学生的竞赛得分统计结果如下表：
班级 | 参赛人数 | 平均数 | 中位数 | 众数 | 方差 |
甲 | 45 | 83 | 86 | 85 | 82 |
乙 | 45 | 83 | 84 | 85 | 133 |
某同学分析上表后得到如下结论：
①甲、乙两班学生的平均成绩相同；
②乙班优秀的人数少于甲班优秀的人数（竞赛得分
分为优秀）；
③甲、乙两班成绩为85分的学生人数比成绩为其他值的学生人数多；
④乙班成绩波动比甲班小.
其中正确结论有（ ）
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】已知某校甲、乙、丙三个兴趣小组的学生人数分别为36，24，12.现采用分层抽样的方法从中抽取6人，进行睡眠质量的调查.
（1）应从甲、乙、丙三个兴趣小组的学生中分别抽取多少人？
（2）设抽出的6人分别用
、
、
、
、
、
表示，现从6人中随机抽取2人做进一步的身体检查.
（i）试用所给字母列出所有可能的抽取结果；
（ii）设
为事件“抽取的2人来自同一兴趣小组”，求事件发生的概率.
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【题目】如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD.
（Ⅰ）证明：BD⊥PC；
（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P-ABCD的体积.
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【题目】某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产
万件，需另投入流动成本
万元，当年产量小于
万件时，
（万元）；当年产量不小于7万件时，
（万元）.已知每件产品售价为6元，假若该同学生产的商品当年能全部售完.
（1）写出年利润
（万年）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）
（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？
（取
）.
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