Question

【题目】已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点，给出命题：①；②若，则存在，使得；③若有两个极值点，，则；④若，且是曲线,的一条切线，则的取值范围是；则以上命题正确序号是______.

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

由函数有极值，求得的范围，同时有导函数的极值点是的零点求得的关系，判断四个命题的真假，其中①由刚才的关系式就可判断，②用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理可得，③可举反例说明，④用已知得出在单调性，化简函数，利用导数的几何意义求出的表达式，从而求得其取值范围．

由题意，，即．

设，则，由得，由是一次函数知是的极值点（本题是极小值点），即为的极值点，

所以，即．

①，①正确；

②显然时，，

设的两解为，即为的两个极值点，则，中有一个小于1，一个大于1，不妨设，是极大值，而，若，则，在上在一个零点，当时，在上单调递增，，因此在上有零点．

所以且．②正确；

③若，则极值为0和2，，③错误；

④由，知②中，因此在上递增，，

，，设切点为，

则，即，整理得，

，因为，所以，又，解得，

，

由上知是增函数，所以当时，．④正确．

故答案为：①②④．