Question

【题目】如图，四棱锥的底面是菱形，平面底面，，分别是，的中点，，，.

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）连接，由菱形的性质可得：，结合三角形中位线的性质可知：，故，再由平面平面可得，得平面，可得证；

（2）由题意结合菱形的性质易知，，，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，向量，根据线面角的空间向量坐标公式可求得直线与平面所成角的正弦值.

（1）连接，由菱形的性质可得：，结合三角形中位线的性质可知：，故，

∵，∴，

∵平面平面，平面平面，平面，

∴底面，底面，故，

且，故平面，

平面，∴.

（2）由题意结合菱形的性质易知，，，

以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，

设平面的一个法向量为，则：，

据此可得平面的一个法向量为，

而，设直线与平面所成角为，则.

所以直线与平面所成角的正弦值为.