【题目】已知函数有两个零点.
(1)求实数的取值范围;
(2)设、
是
的两个零点,证明:
.
【答案】(1);(2)证明见解析
【解析】
(1)求导得到,利用导数得到
的最小值,从而要使
有两个零点,则
最小值小于
,得到
的范围,再利用零点存在定理证明所求的
的范围符合题意;(2)利用分析法,要证
,将问题转化为证明
,设函数
,利用导数研究
的单调性,从而进行证明.
函数,
所以,
当时,
在
上恒成立,所以
在
上单调递增,
至多只有一个零点,不符合题意,
当时,由
得
,
所以时,
,
单调递减,
时,
,
单调递增,
所以时
取得极小值,也是最小值,
要有两个零点,则
,
即,解得
,
所以,
当时,得
,
当时,
,
设,则
所以单调递增,则
,
所以,
所以在区间
上有且只有一个零点,在
上有且只有一个零点,
所以满足有两个零点的
的取值范围为
.
(2)、
是
的两个零点,则
,
要证,即证
,
根据,
可知,
,
即证,
即证,即证
,
即证,
设,
,
由(1)知在
上单调递增,
故只需证明,
而,所以只需证
令,且
所以,
,
所以在
上单调递减,
所以,
所以在
上恒成立,
所以,
故原命题得证.
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【题目】已知点P在直线l:y=x-1上,若存在过点P的直线交抛物线于A,B两点,且|PA|=|AB|,则称点P为“正点”,那么下列结论中正确的是( )
A.直线l上的所有点都是“正点”
B.直线l上仅有有限个点是“正点”
C.直线l上的所有点都不是“正点”
D.直线l上有无穷多个点(但不是所有的点)是“正点”
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】通过随机询问某地100名高中学生在选择座位时是否挑同桌,得到如下列联表:
男生 | 女生 | 合计 | |
挑同桌 | 30 | 40 | 70 |
不挑同桌 | 20 | 10 | 30 |
总计 | 50 | 50 | 100 |
(1)从这50名男生中按是否挑同桌采取分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本,现从这5名学生中随机选取3名做深度采访,求这3名学生中恰有2名挑同桌的概率;
(2)根据以上列联表,是否有
以上的把握认为“性别与在选择座位时是否挑同桌”有关?
下面的临界值表供参考:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
(参考公式:,其中
.)
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【题目】2019年是中国成立70周年,也是全面建成小康社会的关键之年.为了迎祖国70周年生日,全民齐心奋力建设小康社会,某校特举办“喜迎国庆,共建小康”知识竞赛活动.下面的茎叶图是参赛两组选手答题得分情况,则下列说法正确的是( )
A.甲组选手得分的平均数小于乙组选手的平均数B.甲组选手得分的中位数大于乙组选手的中位数
C.甲组选手得分的中位数等于乙组选手的中位数D.甲组选手得分的方差大于乙组选手的的方差
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【题目】随着网络的发展,网上购物越来越受到人们的喜爱,各大购物网站为增加收入,促销策略越来越多样化,促销费用也不断增加.下表是某购物网站2018年1月~8月促销费用(万元)和产品销量(万件)的具体数据.
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
促销费用 | 2 | 3 | 6 | 10 | 13 | 21 | 15 | 18 |
产品销量 | 1 | 1 | 2 | 3 | 3.5 | 5 | 4 | 4.5 |
(1)根据数据可知与
具有线性相关关系,请建立
与
的回归方程
(系数精确到0.01);
(2)已知6月份该购物网站为庆祝成立1周年,特制定奖励制度:以(单位:件)表示日销量,
,则每位员工每日奖励100元;
,则每位员工每日奖励150元,
,则每位员工每日奖励200元.现已知该网站6月份日销量
服从正态分布
,请你计算某位员工当月奖励金额总数大约多少元(当月奖励金额总数精确到百分位).
参考数据:,
,其中
,
分别为第
个月的促销费用和产品销量,
.
参考公式:①对于一组数据,
,…,
,其回归方程
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
,
;②若随机变量
服从正态分布
,则
,
.
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【题目】已知椭圆的焦距为2,过点
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设椭圆的右焦点为F,定点,过点F且斜率不为零的直线l与椭圆交于A,B两点,以线段AP为直径的圆与直线
的另一个交点为Q,证明:直线BQ恒过一定点,并求出该定点的坐标.
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【题目】设数列是公差不为零等差数列,满足
;数列
的前
项和为
,且满足
.
(1)求数列、
的通项公式;
(2)在和
之间插入1个数
,使
成等差数列;在
和
之间插入2个数
,使
成等差数列;……;在
和
之间插入
个数
,使
成等差数列,
(i)求;
(ii)是否存在正整数,使
成立?若存在,求出所有的正整数对
;若不存在,请说明理由.
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