Question

12．已知函数f（x）=ax-lnx，F（x）=e^x+ax，其中x＞0，a＜0，e为自然对数的底数．
（Ⅰ）若f（x）和F（x）在区间（0，ln3）内具有相同的单调性，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若$a∈（{-∞，-\frac{1}{e^2}}]$，且函数g（x）=xe^ax-1-2ax+f（x）的最小值为M，求M的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分别求导，根据导数和函数的单调性，求出函数的单调性区间，再根据f（x）和F（x）在区间（0，ln3）内具有相同的单调性，即可求出a的范围，
（Ⅱ）先求导，再令其导数为0，得到a=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，再构造函数p（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，利用导数求出p（x）的最小值，即可得到函数g（x）的单调区间，求出g（x）的最小值，
再构造函数，求出最值即可．

解答 解：（Ⅰ）求导，$f'（x）=a-\frac{1}{x}=\frac{ax-1}{x}$，F'（x）=e^x+x，x＞0，a＜0，
f'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，即f（x）在（0，+∞）上单调递减，
当-1≤a＜0时，F'（x）＞0，即F（x）在（0，+∞）上单调递增，不合题意
当a＜-1时，由F'（x）＞0，得x＞ln（-a），由F'（x）＜0，得0＜x＜ln（-a），
∴F（x）的单调减区间为（0，ln（-a）），单调增区间为（ln（-a），+∞）
∵f（x）和F（x）在区间（0，ln3）上具有相同的单调性，
∴ln（-a）≥ln3，解得：a≤-3，
综上，a的取值范围是（-∞，-3]；
（Ⅱ）$g'（x）={e^{ax-1}}+ax{e^{ax-1}}-a-\frac{1}{x}=（{ax+1}）（{{e^{ax-1}}-\frac{1}{x}}）$，
由${e^{ax-1}}-\frac{1}{x}=0$，解得：$a=\frac{1-lnx}{x}$，
设$p（x）=\frac{1-lnx}{x}$，则$p'（x）=\frac{lnx-2}{x^2}$，
当x＞e²时，p'（x）＞0，当0＜x＜e²，p'（x）＜0，
从而p（x）在（0，e²）上单调递减，在（e²，+∞）上单调递增，
$p{（x）_{min}}=p（{e^2}）=-\frac{1}{e^2}$，
当$a≤-\frac{1}{e^2}，a≤\frac{1-lnx}{x}$，即${e^{ax-1}}-\frac{1}{x}≤0$，
在$（{0，-\frac{1}{a}}）$上，ax+1＞0，g'（x）≤0，g（x）单调递增，
在$（{\frac{1}{a}，+∞}）$上，ax+1＜0，g'（x）≥0，g（x）单调递增，
∴$g{（x）_{min}}=g（{-\frac{1}{a}}）=M$，
设$t=-\frac{1}{a}$∈（0，e²]，
$M=h（t）=\frac{t}{e^2}-lnt+1，（{0＜t≤{e^2}}）$，
∴$h'（t）=\frac{1}{e^2}-\frac{1}{t}≤0$，h（x）在∈（0，e²]上单调递减，
∴h（t）≥h（e²）=0，
∴M的最小值为0．

点评 本题考查了导数研究函数的极值，考查分类整合思想、转化思想，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，属于难题