Question

17．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，$CF=\sqrt{2}$．
（1）求证：BC⊥平面ACFE；
（2）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知求解三角形可得BC⊥AC，由平面ACFE⊥平面ABCD，结合面面垂直的性质得BC⊥平面ACFE；
（2）建立空间坐标系，令FM=λ（0≤λ≤$\sqrt{3}$），根据坐标表示出两个平面的法向量，结合向量的有关运算求出二面角的余弦值关于λ的表达式，再利用函数的有关知识求出余弦的范围．

解答 （1）证明：在梯形ABCD中，
∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，
∴AB=2，则AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos60°=3，
∴AB²=AC²+BC²，得BC⊥AC．
∵平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD=AC，
BC?平面ABCD，
∴BC⊥平面ACFE；
（2）解：由（1）可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示空间直角坐标系，
令FM=λ（0≤λ≤$\sqrt{3}$），则C（0，0，0），A（$\sqrt{3}$，0，0），B（0，1，0），M（λ，0，1）．
$\overrightarrow{AB}$=（-$\sqrt{3}$，1，0），$\overrightarrow{BM}$=（λ，-1，1）．
设$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）为平面MAB的一个法向量，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=-\sqrt{3}x+y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BM}=λx-y+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}-λ$），
∵$\overrightarrow{n}$=（1，0，0）是平面FCB的一个法向量．
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{1+3+（\sqrt{3}-λ）^{2}}×1}$=$\frac{1}{\sqrt{（λ-\sqrt{3}）^{2}+4}}$．
∵0≤λ≤$\sqrt{3}$，∴当λ=0时，cosθ有最小值$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
当λ=$\sqrt{3}$时，cosθ有最大值$\frac{1}{2}$．
∴cosθ∈[$\frac{\sqrt{7}}{7}，\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查平面与平垂直的证明，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的余弦值，是中档题．