Question

2．椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左焦点为F，点C是椭圆与x轴负半轴的交点，点D是椭圆与y轴正半轴的交点，直线x=m与椭圆相交于A，B两点，若△FAB的周长最大时，CD∥OA（O为坐标原点），则该椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 先画出图象，结合图象以及椭圆的定义求出△FAB的周长的表达式，进而求出何时周长最大，求得m的值，求得A点坐标，利用k_OA=k_CD，即可求出和c的关系，求得椭圆的离心率．

解答 解：设椭圆的右焦点F₂．如图：
由椭圆的定义得△FAB的周长为：
丨AB丨+丨AF丨+丨BF丨=丨AB丨+（2a-丨AF₂丨）+（2a-丨BF₂丨）=4a+丨AB丨-丨AF₂丨-丨BF₂丨；
∵丨AF₂丨+丨BF₂丨≥丨AB丨；
∴丨AB丨-丨AF₂丨-丨BF₂丨≤0，当AB过点F₂时取等号；
∴△FAB的周长：丨AB丨+丨AF丨+丨BF丨=4a+丨AB丨-丨AF₂丨-丨BF₂丨≤4a；
∴△FAB的周长的最大值是4a，
则m=c，则A（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），
由CD∥OA，则k_OA=k_CD，即$\frac{\frac{{b}^{2}}{a}}{c}$=$\frac{b}{a}$，即b=c，
则a²=b²+c²=2c²，则a=$\sqrt{2}$c，
∴椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故选：C．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线的斜率公式，考查数形结合思想，属于中档题．