Question

13．设双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，若在曲线C的右支上存在点P，使得△PF₁F₂的内切圆半径为a，圆心记为M，又△PF₁F₂的重心为G，满足MG平行于x轴，则双曲线C的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由MG平行于x轴得y_G=y_M=a，则y_P=3y_G=3a，通过${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$•2c•3a=$\frac{1}{2}$•（|PF₁|+|PF₂|+2c）•a，又|PF₁|-|PF₂|=2a，求出P（2a，3a），代入椭圆方程转化求解离心率即可．

解答 解：由MG平行于x轴得y_G=y_M=a，则y_P=3y_G=3a，
所以${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$•2c•3a=$\frac{1}{2}$•（|PF₁|+|PF₂|+2c）•a，又|PF₁|-|PF₂|=2a，
则|PF₁|=2c+a，|PF₂|=2c-a．由|PF₁|²-（x_P+c）²=|PF₂|²-（c-x_P）²得x_P=2a，
因此P（2a，3a），代入椭圆方程得$\frac{（2a）^{2}}{{a}^{2}}-\frac{（{3a）}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
即b=$\sqrt{3}$a，则e=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=2．
故选：C．

点评 本题考查直线与双曲线的位置关系的应用，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．