Question

已知命题p：关于x的不等式mx²+mx+1＞0对任意x∈R恒成立；命题q：函数f（x）=x³+mx²+3x+2存在单调递减区间；若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：集合

分析：先求出命题p，q下的m的取值范围，再根据p∨q为真命题，p∧q为假命题知：p，q中一真一假，所以分p真q假，和p假q真两种情况，分别求出两种情况下的m取值，再求并集即可．

解答： 解：命题p：关于x的不等式mx²+mx+1＞0的解集为R，∴m=0或m＞0且△=m²-4m＜0，解得0≤m＜4；
命题q：函数f（x）=x³+mx²+3x+2存在单调递减区间，则f′（x）=3x²+2mx+3＜0在R上有解，即
△=4m²-36＞0，解得m＞3，或m＜-3；
∵p∨q为真命题，p∧q为假命题；
∴p，q中一真一假；
∴若p真q假，则：0≤m＜4且-3≤m≤3，∴0≤m≤3，即m∈[0，3]；
若p假q真，则：m＜0或m≥4，且m＞3，或m＜-3，∴m＜-3或m≥4，即m∈（-∞，-3）∪[4，+∞）；
∴实数m的取值范围为（-∞，-3）∪[0，3]∪[4，+∞）．

点评：考查一元二次不等式的解和判别式△的关系，指数函数的单调性，p∨q，p∧q的真假与p，q真假的关系．