Question

已知函数f(x)=1+2sin(2x-

π

3

)，x∈[

π

4

，

π

2

]．
（1）求f（x）的最大值和最小值；
（2）若不等式-2＜f（x）-m＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由x的范围求出2x-

π

3

的范围，进一步得到sin(2x-

π

3

)的范围，从而得到f（x）的最大值和最小值；
（2）由（1）中求得的f（x）的范围得到2-m≤f（x）-m≤3-m，再由不等式-2＜f（x）-m＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，利用两不等式端点值间的关系列不等式组求解m的取值范围．

解答：解：（1）∵

π

4

≤x≤

π

2

，∴

π

6

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，
∴

1

2

≤sin(2x-

π

3

)≤1，
∴2≤f(x)=1+2sin(2x-

π

3

)≤3，
故f（x）的最大值为3，最小值为2；
（2）由（1）知，当x∈[

π

4

，

π

2

]时，2-m≤f（x）-m≤3-m，
要使-2＜f（x）-m＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，
只需

3-m＜2 2-m＞-2

，解得1＜m＜4，
∴实数m的取值范围是（1，4）．

点评：本题考查了三角函数值的求法，考查了数学转化思想方法，体现了集合思想在解题中的应用，是中档题．