【题目】如图1,已知四边形BCDE为直角梯形,,
,且
,A为BE的中点
将
沿AD折到
位置
如图
,连结PC,PB构成一个四棱锥
.
Ⅰ
求证
;
Ⅱ
若
平面ABCD.
求二面角
的大小;
在棱PC上存在点M,满足
,使得直线AM与平面PBC所成的角为
,求
的值.
【答案】Ⅰ
详见解析;
Ⅱ
①
,②
或
.
【解析】
Ⅰ
可以通过已知证明出
平面PAB,这样就可以证明出
;
Ⅱ
以点A为坐标原点,分别以AB,AD,AP为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,可以求出相应点的坐标,求出平面PBC的法向量为
、平面PCD的法向量
,利用空间向量的数量积,求出二面角
的大小;
求出平面PBC的法向量,利用线面角的公式求出
的值.
证明:Ⅰ
在图1中,
,
,
为平行四边形,
,
,
,
当沿AD折起时,
,
,即
,
,
又,
平面PAB,
又平面PAB,
.
解:Ⅱ
以点A为坐标原点,分别以AB,AD,AP为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,由于
平面ABCD
则0,
,
0,
,
1,
,
0,
,
1,
1,
,
1,
,
0,
,
设平面PBC的法向量为y,
,
则,取
,得
0,
,
设平面PCD的法向量b,
,
则,取
,得
1,
,
设二面角的大小为
,可知为钝角,
则,
.
二面角
的大小为
.
设AM与面PBC所成角为
,
0,
,1,
,
,
,
平面PBC的法向量0,
,
直线AM与平面PBC所成的角为
,
,
解得或
.
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【题目】如图,在四面体A﹣BCD中,AD⊥平面BCD,BC⊥CD,AD=2,BD=2 .M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ=3QC.
(1)证明:PQ∥平面BCD;
(2)若二面角C﹣BM﹣D的大小为60°,求∠BDC的大小.
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【题目】某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动.为了了解本次竞赛学生成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为100分)作为样本(样本容量为n)进行统计.按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在[50,60),[90,100]的数据).
(1)求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值;
(2)根据样本直方图估计所取样本的中位数及平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表).
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【题目】位于潍坊滨海的“滨海之眼”摩天轮是世界上最高的无轴摩天轮,该摩天轮的直径均为124米,中间没有任何支撑,摩天轮顺时针匀速旋转一圈需要30分钟,当乘客乘坐摩天轮到达最高点时,距离地面145米,可以俯瞰白浪河全景,图中与地面垂直,垂足为点
,某乘客从
处进入
处的观景舱,顺时针转动
分钟后,第1次到达
点,此时
点与地面的距离为114米,则
( )
A. 16分钟B. 18分钟C. 20分钟D. 22分钟
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【题目】近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便,某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元,根据行业规定,每个城市至少要投资40万元,由前期市场调研可知:甲城市收益P与投入a(单位:万元)满足,乙城市收益Q与投入a(单位:万元)满足
,设甲城市的投入为x(单位:万元),两个城市的总收益为
(单位:万元).
(1)求及定义域;
(2)试问如何安排甲、乙两个城市的投资,才能使总收益最大?
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【题目】设a为实常数,y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=9x+ +7.若f(x)≥a+1对一切x≥0成立,则a的取值范围为 .
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【题目】随着手机的普及,大学生迷恋手机的现象非常严重.为了调查双休日大学生使用手机的时间,某机构采用不记名方式随机调查了使用手机时间不超过小时的
名大学生,将
人使用手机的时间分成
组:
,
,
,
,
分别加以统计,得到下表,根据数据完成下列问题:
使用时间/时 | |||||
大学生/人 |
(1)完成频率分布直方图;
(2)根据频率分布直方图估计大学生使用手机的平均时间.
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【题目】抛物线C1: 的焦点与双曲线C2:
的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p=( )
A.
B.
C.
D.
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