Question

在数列{a_n}中，（c为常数，n∈N*，n≥2），又a₁，a₂，a₅成公比不为l的等比数列．
（I）求证：{}为等差数列，并求c的值；
（Ⅱ）设{b_n}满足，证明：数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

【答案】分析：（I）由题意可得a_n≠0，由已知可得可证数列{}是等差数列，结合等差数列的 通项公式可求，进而可求a_n，然后由a₁，a₂，a₅成公比不为l的等比数列可求c
（II）由（I）可求a_n，进而可求b_n，利用裂项法可求S_n，即可证明
解答：（I）证明：若a_n=0，（n≥2）则，则a_n-1=0与a₁=1矛盾
∴a_n≠0
∵
∴
∴数列{}是以c为公差，以=1为首项的等差数列
∴
∴
∴
∵又a₁，a₂，a₅成公比不为l的等比数列
∴=a₁a₅
即
解得c=0或c=2
当c=0时，a₁=a₂=a₅，故舍去
∴c=2
（II）∵
∴，=
当n=1时，
当n≥2时，（1）
=（1+）=1-=
点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列求解通项公式，等比数列的性质的应用及裂项求和方法的应用，本题中的裂项求和具有一定的难度