Question

（2013•乐山二模）已知数列{a_n}有a₁=a，a₂=p（常数p＞0），对任意的正整数n，S_n=a₁+a₂+…+a_n，并有Sn满足Sn=

n(an-a1)

2

．
（I）试判断数列{a_n}是否是等差数列，若是，求其通项公式，若不是，说明理由；
（II）令Pn=

Sn+2

Sn+1

+

Sn+1

Sn+2

，Tn是数列{Pn}的前n项和，求证：T_n-2n＜3．

Answer 1

分析：（I）令n=1，可得a₁=0，从而Sn=

nan

2

，再写一式，两式相减，利用叠乘法，即可得到结论；
（II）先确定{P_n}的通项，利用裂项法求和，即可证得结论．

解答：解：（I）令n=1，则S1=a1=

a1-a1

2

=0，即a₁=0，∴Sn=

nan

2

∴当n＞1时，∴an=Sn-Sn-1=

nan-(n-1)an-1

2

∴

an= n-1 n-2 an-1= n-1 n-2 • n-2 n-3 •…• 4 3 • 3 2 • 2 1 •a2=(n-1)p

∵当n=1时，a₁=（1-1）p=0也满足上式
∴数列{a_n}是一个以0为首项，p为公差的等差数列
（II）∵Sn=

n(a1+an)

2

=

n(n-1)p

2

∴Pn=

Sn+2

Sn+1

+

Sn+1

Sn+2

=

n+2

n

+

n

n+2

=2+2(

1

n

-

1

n+2

)
∴T_n-2n

=p1+p2+…+pn-2n

=2（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

）
=2（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）=3-2（

1

n+1

+

1

n+2

）＜3
∴原不等式成立．…．（12分）

点评：本题考查数列递推式，考查等差数列的证明，考查数列与不等式的综合，确定数列的通项，利用裂项法求和是关键．