Question

16．O为坐标原点，点F是双曲线2x²-2y²=1与抛物线y²=2px的公共焦点，点A在抛物线y²=2px上，M在线段AF上，且|AF|=2|MF|，则直线OM斜率的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由双曲线的标准方程，求得焦点坐标，求得p的值，设A点坐标，根据向量的坐标运算求得$\overrightarrow{OM}$=（$\frac{{y}_{0}^{2}}{12}$+$\frac{2}{3}$，$\frac{{y}_{0}}{3}$），利用直线的斜率公式及基本不等式的性质，即可求得直线OM斜率的最大值．

解答 解：由双曲线的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{2}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{2}}=1$，则a²=$\frac{1}{2}$，b²=$\frac{1}{2}$，
则c²=a²+b²=1，则双曲线的焦点F（±1，0），p=2，
则抛物线y²=4x的焦点（1，0），设A（$\frac{{y}_{0}^{2}}{4}$，y₀），
显然当y₀＜0，k_OM＜0；当y₀＞0，k_OM＞0．
要求k_OM的最大值，设y₀＞0，
则$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{OF}$+$\overrightarrow{FM}$=$\overrightarrow{OF}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{FA}$=$\overrightarrow{OF}$+$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OF}$）
=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OF}$=（$\frac{{y}_{0}^{2}}{12}$+$\frac{2}{3}$，$\frac{{y}_{0}}{3}$），
可得k_OM=$\frac{\frac{{y}_{0}}{3}}{\frac{{y}_{0}^{2}}{12}+\frac{2}{3}}$=$\frac{2}{\frac{{y}_{0}}{2}+\frac{4}{{y}_{0}}}$≤$\frac{2}{2\sqrt{\frac{{y}_{0}}{2}×\frac{4}{{y}_{0}}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当且仅当y₀²=8，即y₀=2$\sqrt{2}$，取得等号．
直线OM斜率的最大值$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查双曲线的简单几何性质，向量数量积的坐标运算，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．